数学家的成名之作欧拉用高超的数学技巧解决了著名的巴塞尔问题被许多人认为是“自古以来最

被许多人认为是“自古以来最伟大的数学家”的德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯曾经宣称:
研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法------卡尔·弗里德里希·高斯
本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉如何解决著名的巴塞尔问题。欧拉是历史上最伟大的数学家之一，他的文集有92卷之多。皮埃尔-西蒙·德·拉普拉斯宣称欧拉对数学的影响，他说:
读读欧拉吧，他是我们所有人的导师------法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
巴塞尔问题
1650年，意大利数学家皮耶特罗·门戈利首次提出了巴塞尔问题。 1734年，欧拉解决了这个问题，并立即得到了认可。这个问题要解决的是自然数平方的倒数和:

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许多有影响力的数学家试图找到自然数平方倒数和的公式。微积分的两位共同发明人约翰·沃利斯(JohnWallis)和伟大的戈特弗里德·莱布尼茨(GottfriedLeibniz)都曾尝试过微积分，但都以失败告终。欧拉在年轻时(28岁)就解出了这个问题，他解决这个问题的数学性质令数学界感到惊讶。他的第一个证明(他随后提供了其他几个证明)并不严格，但它的美、简单和独创性是惊人的。
【数学家的成名之作欧拉用高超的数学技巧解决了著名的巴塞尔问题】

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欧拉杰出的见解是写出sinc(πx)函数

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上述函数的图形就是：学过复变函数的人应该都很熟悉

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为了更好的理解：现在我们考虑如下四次多项式，将其写成根式解的形式

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将表达式相乘，得到:

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欧拉的策略是将同样的展开应用于超越函数
超越函数
这类函数不满足多项式方程，它指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。
指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。如下图

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sinc(πx)函数有以下根:

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欧拉将sinc(x)写成与上图中f(x)相同的形式。使用基本的数学恒等式

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由于方程sinc(πx)的每一个根都有一个对应的负根，所以他可以写出:

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下一步是将上式各项相乘，但这里我们只关注二次项:如下图

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泰勒级数
泰勒级数是将函数表示为无穷项的和。每一项都是从单点上的函数的导数值计算出来的
增加泰勒级数的次数，它收敛于正确的函数。黑色的曲线代表sinx 。其他曲线是泰勒近似，多项式的次数是1,3,5,7,9,11 ，和13

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上图所示的七个泰勒级数具有以下代数形式:

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sinc(x)函数的泰勒展开为:

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我们可以把上述等式看作是无限次数的“多项式” 。这种多项式有无穷多个根。
比较两个结果
就得到了我们想要的结果:

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另外，欧拉利用上述推导原理给出了著名的沃利斯公式。只要把x=1/2代入方程sinc(πx)就得到

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沃利斯的公式是对巴塞尔问题证明的一种延伸

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