区间套定理的内容是什么( 三 ) _什么是区间套定理？怎么证明？

不能用中有限个开区间来覆盖．
对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理，．
因为 ,所以使
记由推论，当足够大时，有

这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．
说明当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．
例如：
1)：．
是开区间的一个无限开覆盖，但不能由此产生的有限覆盖．
2)：．
是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖．
三实数完备性基本定理的等价性
1实数完备性基本定理的等价性
至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即
定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界
确界存在定理(定理11)揭示了实数的连续性和实数的完备性与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理12至定理16．
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理3(区间套定理）设为一区间套：
1）
2）．
则存在唯一一点
定理4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆
盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存
在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．
定理6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
2实数完备性基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明：
定理1（确界原理）定理2 (单调有界定理)定理3(区间套定理）定理4 (有限覆盖定理)定理5 (聚点定理)定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）
其中定理1（确界原理）定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理)定理3(区间套定理）与定理3(区间套定理）定理4 (有限覆盖定理)分别见定理29, 71与73；定理4 (有限覆盖定理)定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理)定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）作为练习自证；而定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）见下例
例1用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：
即非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界
证（只证“非空有上界数集必有上确界”）
设为非空有上界数集由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数 ,使得为的上界,而不是的上界,即存在 ,使得
分别取 , ,则对每一个正整数 ,存在相应的 ,使得为的上界,而不是的上界,故存在 ,使得
又对正整数，是的上界，故有再由得
；同理有从而得
于是,对任给的 ,存在 ,使得当时有
由柯西收敛准则,知数列收敛记
下面证明就是的上确界首先,对任何和正整数有 ,
由得 ,即是的上界其次, 对任何 ,
由及 ,对充分大的同时有 ,
又因不是的上界, 故存在 ,使得
再结合 , 得
这说明为的上确界
同理可证：非空有下界数集必有下确界
作业P1681，2，3，4，5，6，7

第二节闭区间上连续函数性质的证明
在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质
一有界性定理
若函数在闭区间上连续，则在上有界
证法一( 用区间套定理 ) 反证法参阅[3]P106—107
证法二( 用致密性定理) 反证法
证明：如若不然，在上无界，，，使得，对于序列，它有上下界，致密性定理告诉我们使得，由在连续，及有
，
矛盾
证法三( 用有限复盖定理 )
证明：（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性（定理42）对每一点都存在邻域及正数
使,
考虑开区间集
显然是的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在的一个有限点集

覆盖了 ,且存在正整数
使对一切有，
令则对，必属于某，，
即证得在上有上界．
二最大、最小值定理
若函数在闭区间上连续, 则在上取得最大值和最小值
证( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 )