计算机搞定44年几何难题，原来这4个人25年前猜对了晓查发自凹非寺量子位报道|公

晓查发自凹非寺量子位报道|公众号QbitAI
计算机程序又为数学家立功了。
最近，来自美国、加拿大、瑞士的4位数学家，用C++和MATLAB程序解出了一个6元105项方程的59组特殊解。
求解完这个方程，也就证明了“有理四面体”（rationaltetrahedra）总共只有59个“特殊”形状和2个系列，从而解决了一个44年的数学难题。
而提出这一难题的，正是去年因新冠而去世的著名数学家约翰·康威（JohnConway）。

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△59个“有理四面体”单独解（图片来自：QuantaMagazine）
1976年，康威给出了求解该问题的方程。 1995年，两位数学家找到了其中59组特殊解，但是他们不确定有没有遗漏。

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△有理四面体具有两组“连续”解和59组单独解
得益于计算机硬件的发展，现在只用MacBookPro和几台至强CPU电脑，在几天内就完成了对所有解的搜索。
结果证明，那两位数学家在20多年前其实已经得到了完整的答案。
四面体，顾名思义，就是四个三角形围成的立体图形。
四面体每两个面之间都组成一个二面角。四面体有6条棱，因此有6个二面角。

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△四面体中有6个二面角（图片来自Poonen手稿）
有理四面体是指四面体中的6个二面角都是有理数角度（与180°角的比值是有理数）。
就好像三角形的内角和公式数学公式:a+b+c=180°一样，四面体的6个二面角之间也有一种关系，只不过这种关系要复杂得多。
定义θij为四面体第i个面与第j个面的夹角（显然θij=θji），那么这6个二面角之间的关系可以行列式表示为：

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因为是有理四面体，所以θij=Qπ（弧度）， Q是有理数。
我们把行列式展开后，会得到一个包含17项的方程，而且方程中还有余弦函数，求解难度很大。
但是数学家们想到了一个巧妙的化简方法。
【计算机搞定44年几何难题，原来这4个人25年前猜对了】接下来，数学家们用到了“最美数学公式”——欧拉公式——来简化方程。
欧拉公式将复数（实数+虚数）的指数函数与三角函数联系起来：

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i是虚数，即-1的平方根。如果用图像的方式理解欧拉公式，那就是：

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很显然，无论θ值如何变化， eiθ到0点的距离一定是1 。
所以如果我们定义复数：

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那么这个复数一定是在以原点为圆心，半径为1的圆上。

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△方程z5=1的5个解都在单位圆上
现在，方程里的三角函数可以用复数来替代了：

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这样，上面的行列式从一个三角函数方程变成了一个多项式方程：

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但问题也随之而来，这个方程总共有105项，而且是一个6元方程！不过好消息是，我们知道这6个未知数都在那个半径为1的圆上（称作“单位根”）。
巧妙的是，复数zij与x轴的夹角θij正好就是四面体的二面角，因此这些解不仅在圆上，与x轴夹角也必须是π弧度的有理数倍。
1995年，在那个没有性能强劲PC的年代，来自UC伯克利的Poonen和滑铁卢大学的Rubinstein通过插入六个有理数的组合，来猜测这个方程的解，他们总共找到了59组。
这样做带来一个问题是：可以找到解，但是不能保证把所有解一网打尽。
问题一搁置就是20多年，直到去年3月， Poonen参加了一次讲座。
在那一次的讲座上，研究数论的数学家Kedlaya介绍了自己的工作：搜索了不同多项式方程的单位根。
这不就和寻找“有理二面体”的问题等价吗？
Poonen很快就给Kedlaya发邮件，说明自己的来意：你们研究的“正是我在1990年代需要的东西” 。