收到邮件后 ， Kedlaya与另一位研究单位根的数学家Kolpakov取得了联系 。 另一边 ， Poonen也联系上了他当年的的老搭档Rubinstein 。


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△联手解决“有理四面体”的四位数学家
四人迅速组团 ， 开始着手工作 。
即便现在的计算机性能相比20多年前提升巨大 ， 但想要找到一个6元105向方程的所有有理数解 ， 还是不可能想象的 。
必须要把搜索范围进一步缩小 。
首先 ， 他们“化整为零” 。
在新论文中他们证明了 ， 这个105项的复杂多项式方程可以用多个更简单的多项式表示 ， 把这个6元方程转化成了数百个简单方程的集合 。


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寻找这些较简单方程的单位根 ， 比原方程的搜索范围小得多 。 而且由于简单的方程与复杂的方程之间的对应关系 ， 找到一个方程的根 ， 能帮助找到另一个方程的根 。
搜索上限的问题解决了 ， 但搜索的间隔还是太小 ， 搜索空间依然很庞大 ， 工作无法继续 。
然后 ， 他们的第二步是 ， 利用对称性进一步压缩搜索空间 。
他们知道方程的解具有一定的对称性 ， 如果在区间的一部分上有解 ， 那么在区间的另一部分上也必须有解 。
这样一来 ， 他们就可以开发出新算法 ， 利用这种对称性结构来更有效地进行搜索 。
经过几个月的努力 ， 他们完成了任务的分解 。 除去编程 ， 整个搜索只占用了几颗酷睿与至强处理器数小时的时间 。
计算机终于找到了所有特殊解 ， 真的只有59个！（另外还有两组“连续”解 。 ）


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现在 ， 他们的算法已经公布在GitHub上 。


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2020年11月 ， 四个数学家把论文发布到arXiv上 ， 44年后终于用计算机的方法完成了康威的愿望 。
也算是告慰了康威的在天之灵 ， 他们在论文首页上写着：“InmemoryofJohnH.Conway” 。


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解决这个问题后 ， Poonen本人亲自撰写了一篇科普文章 ， 还和西蒙斯基金会联合录制了一段科普视频 。


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Poonen列c出了三个重要的四面体问题 ， 最早的要追溯到2300多年前亚里士多德的疑问：什么样的四面体能堆满整个空间？
1900年 ， 数学家大卫·希尔伯特给出了另一个疑问：什么样的四面体可以经过有限次的切割重组为一个等体积的立方体？
至于第三个问题 ， 就是刚刚解决的有理二面体问题 。 而前两个问题 ， 人们现在还不知道答案 。
如果非要问这个有理二面体有什么实际价值 ， Poonen给出了一个有趣的案例：
假设我们要在一个星球上建造N个城市 ， 让这N个城市每两个之间的距离都是有理数 ， 那么我们应如何规划？
（注：指城市之间的球面距离与赤道周长的比值是有理数 。 ）


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△如何在星球上建造两两距离皆为有理数的城市（图片来自Poonen手稿）
因为有理四面体问题的解决 ， 现在这个问题有两个方案：
一个是让赤道上均匀分布几个城市 ， 再把剩下两座城市放在南极北极 。
而如果想让城市在星球上分布得更均匀一点 ， 也就是上图右边的方法 ， 那么N不能超过30 ， 否则无解 。
参考链接：~poonen/papers/press_release.pdf
—完—
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