数学探秘之旅(2)--阿兰·孔涅: 严酷的现实 | 数学与人文( 二 ) 关注风云之声晋升思维层次导

文章图片
雅克·迪斯米埃
数学现实
我对有些诗人非常赏识，例如伊夫·博纳福依[注：伊夫·博纳福依（YvesBonnefoy ， 1923—）法国诗人和散文家] ，这是因为他们在方法论层面上与数学相近。在我看来，数学家与诗人的不同之处，在于诗人所使用的原材料是人类经验中的物质现实。诗词的主要成分，是一个人的内心世界和外部现实之间的冲突，这种冲突之激烈老是使得我们震动。而数学家的航程，则是在另外一个地舆空间中、另外一个景观中的旅游。在此期间，他会遇到另外一种现实。这种数学现实与我们身处其中的物质现实同样严酷而坚固。这个眼光部门对于数学家真正做数学来说是不够的。也就是说，比拟眼光部门，在论证之后随之而来的阶段里，有着一段不确定的令人痛苦的时间，老是担心会搞错。这有点像从陡坡上下来时，我们必需不停地往下看……我们也老是在不停地对自己说“瞧，我本来会在这里犯错的，或许我已经搞错了” 。谁知道呢，我们老是在担心！我们可能会经历数小时可怕的惶惶不安的时间，恰是由于我们碰到了一个真正的现实。因此，这不是普通意义上的现实，而可能是更加严酷的现实。
这样一来，真理的概念用到了另外一个世界，它并不是人类在其外部现实当中所经验的世界，而是数学现实的世界。需要理解的关键点是，无数的数学家们花费一生的心血致力于发现这一世界；对于这个世界的轮廓和联通性，他们的意见是一致的：无论它的生命行程源自何处，如果说这一行程足够遥远，假如我们时刻警惕不被禁闭在某个特殊区域里面的话，早晚有一天，我们会到达这些众所周知的城堡当中的某一个，例如椭圆函数、模形式、ζ函数，等等。 “条条道路通罗马” ，数学世界也是“连通的” 。当然，这并不意味着所有这些部门都相似。格罗腾迪克[注：格罗腾迪克（AlexandreGrothendieck ， 1928—2014）20世纪最有影响的数学家之一， 1966年菲尔茨奖获得者， 1988年克拉福德奖获得者（他拒领该奖）]在他的《收成与播种》当中，这样描述了一幅他从分析出发，终极来到代数几何的过程中所经历的景象：
“我仍旧记得这个吸引人的印象（当然，这完全是主观的），就像是我离开了令人厌恶的干旱荒原，忽然发现自己来到了一个华丽繁茂、遍地流金的‘富裕地带’ ，到处都充斥着无穷无尽的财富，这里令人禁不住伸出双手，去采摘果实或者开发宝藏??”
——亚历山大·格罗腾迪克

文章图片
阿兰·孔涅和米哈伊尔·格罗莫夫
伽罗瓦
从某种意义上来说，伽罗瓦所领悟的，或者说真正的现代数学的出发点，就是必需有能力超越演算。也就是说，不要去进行演算，而是在思惟里面进行演算！要明白这些演算的本质将会是什么，将会泛起的难题是什么，等等，但是并不真正地去进行详细的演算，从而理解它的结果将会是什么形式的，该结果将会有什么对称性。因此，要超越这种外表形式；假如我们不加警惕的话，就很轻易被困于其中。需要尝试从高处着手去摆脱困境，在对称性方面进行思索，等等。
“双脚并拢，跳过这些计算；将那些运算加以组合，按照它们的难题程度而不是按照其形式进行分类；在我看来，这才是我们的任务。 ”
——埃瓦里斯特·伽罗瓦
当伽罗瓦的前辈们探求某个方程的根的对称函数时，他自己却开始打破这种对称性，以便看清楚将会发生什么??他的起点是选择这些根的任意一个没有任何对称性的函数。奇妙之处就在于，他从这个根的函数所推导出来的不变群，实际上独立于最初的任意选择。
伽罗瓦的设法一点也不外时，它们仍旧津润着当代数学，只是由于这些设法简单明了并且引起了变动。格罗腾迪克所创立的主题理论可以看做是伽罗瓦的理论在大于0维时的某种天然推广，也就是说，假如我们愿意的话，它是在多变量多项式情况下的推广。这些在目前的发展，就像伽罗瓦理论的发展一样，是伽罗瓦思惟的活力之所在。这里，需要引用他的遗嘱的结尾部门。
“我亲爱的奥古斯特，你知道，这些课题并不是我所探索的全部内容。某段时间以来，我的主要思考集中在不确定性理论在超越分析方面的应用。这需要事先就明白，在超越数目或者超越函数之间的关系当中，我们可以进行怎样的互换，我们可以用哪些数目来替代那些所给定的数目，同时保持这种关系。这立即就会使我们所可能寻找的很多数学表达式变得不再可能了。但是，在这个广阔的领域内，我没有时间了，我的设法也还没能足够成熟。 ”