数学思维在生活中有多大用处？和哥们儿去吃披萨

和哥们儿去吃披萨，点了个12寸的，结果过了会儿服务员来了说：“不好意思现在做不了12寸了，您看换成两个6寸的可以吗，一样的”
哥们听了一拍桌子：“能一样吗？圆形面积公式是πR平方，四个6寸才等于一个12寸的”
服务员愣了好几秒，说“等一下，我让经理过来。”
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曾经不止一个数学家（从事数学研究的人）说过差不多同样的话，世界上任何客观存在的事物都能用数学原理去解释。很多人其实对数学还是有很大的误解，或者说理解的深度不够，认为数学就是学校课本上的那些东西，是一种计算工具。
其实数学是大部分科学研究的基础，比如严重依赖数学模型的经济学，“博弈论”被认为是数学分支，实际却是应用解决经济问题的方法论。熟读博弈论可以帮助人在生活和工作中面对复杂问题的选择时，应用数学逻辑来得到最优的选择。“囚徒困境”作为博弈论的典型问题被很多人所熟知，而生活中比囚徒困境复杂的问题如何解决呢？希望有更多人可以去看看吧。
除了经济学外，数学方法在生活中应用最广的应该是统计学，例如“社会学”等学科其实大部分的研究方法都是基于统计学的，毕竟社会学作为一种研究社会行为和人群的学科，也算是哲学范畴，但无法通过个体行为得到结论，需要应用统计学得到广泛的数据样本，从而进行社会行为的分析，以此作为研究对象。
而像我们常说与数学紧密联系的物理和化学，就更不必说了，每天人都活在各种物理现象里，比如一个标准大气压下水的沸腾需要100度，撬起重物需要一个较长的动力臂和一个支点，清洗水渍要用酸性物质，生物学关于遗传的概率等等，我们经常在生活中谈到的东西和那些必不可少的生活常识往往也都无法脱离数学原理。
最后，哪怕是简单的商业行为，也是伴有严谨的数学原理的，比如说打折、第二杯半价、买二送一等等，虽然很多时候当做出折扣决策的时候不一定都经过很严谨的理论推演，但往往经过对售价、成本、让利额度、活动时间规模等数字的简单核算就已经是一个完整的数学过程了。
最后，也是最多人说到的，数学教育的最核心目的，除了为解决问题提供工具外，就是锻炼人的逻辑思维能力，能够在面对问题的时候，理性的分析因果利弊，通过表象洞悉事物本质，然后依靠多重假设和逻辑推演来预测事物发展的所有可能性，最终解决问题。
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想了解数学思维在生活中的应用，我推荐你阅读《魔鬼数学》，副标题是「大数据时代，数学思维的力量」。
你是否在做心烦的数学题时，问过这样的问题：「为什么我要学数学？」
而你也许听见过类似这样的回答和反问：「因为数学在工程、科学上都有用啊，你现在用的手机里都包含了数学。」「那是工程师、科学家这些人的事情吧？我干吗要知道呢？」「你喜欢篮球、足球吧，男孩子都喜欢这类体育活动，他们中只有极少的一部分人会成为职业运动员，但是参加这些活动可以让他们的耐力、体力和柔韧性都获得提高。在以后的生活里面，就算被女朋友打的时候，跪搓衣板的时候也能提高自己的『生存率』。其实，学数学也是一样的。学好数学本质上可以为你提供一个全新的思维维度。让你能从一个全新的角度去看待世界，解释这个世界，就好像给你的思维加上了 X 光一样，让你能从纷繁复杂的日常世界中看到规律。」「你说的这些听起来还是蛮有道理的，但是太抽象了，你能给我举个例子吗？」
好，我这里举个例子，是亚伯拉罕 · 瓦尔德（Abraham Wald）的故事。他是一个数学天才，「二战」的时候他加入了哥伦比亚大学的「统计研究小组」，这是一项为「二战」服务的计划，类似于曼哈顿计划。这个小组里面有控制论的奠基人维纳（Wiener），有哈佛统计系的创始人莫斯特勒（Mosteller），有决策理论的先驱萨维奇（Savage），有诺贝尔经济学奖得主弗里德曼（Friedman）。其中，瓦尔德算是研究领域最理论的一个人。这个小组有一次的任务是提高战斗机的生存率。美军发现战场上飞回的那些飞机上的弹孔分布是不均的，机身比引擎上多，他们不能强化整个飞机，因为这样飞机会过重，于是他们觉得要强化受攻击率最高的部位。瓦尔德的建议是强化那些没有弹孔的位置。瓦尔德是这样想的：飞机各个部分的中弹概率是差不多的，那么为什么统计那些飞回来的飞机后发现某些部分弹孔比较多呢？为什么引擎上弹孔比较少呢？因为那些失踪的弹孔在没飞回来的飞机上。军方听从了他的建议，飞机的生存率确实提高了。在这个问题中，瓦尔德实质上运用了数学期望、相关性等数学概念，我会在后面具体解释。
《魔鬼数学》这本书的主要内容就是帮助大家理解「线性关系」、「显著性检验」、「期望」、「回归平均值」等等陌生的数学概念，是如何在社会生活的各个方面具体应用的，通过一个个生动的例子和故事，让数学增加我们认识世界的维度。
全书第一个重点是「线性和非线性」的关系。
不是所有的线都是直线，即使你只是个小学生，你似乎也能理解这个道理。但可惜的是，很多人，甚至是很多专业人士在生活和工作中都非常容易陷入「线性思维」的陷阱。线性思维的错误几乎无处不在。
举个例子，让我们看看《外交》（Foreign affairs）杂志列出的一段话：「以色列军方报告，从第二次巴基斯坦大起义到 2005 年 10 月底，有 1074 个以色列人死亡，7520 人受伤。对于以色列这样的小国，这个数字很大，按照比例来算，相当于美国 5 万人死亡，30 万人受伤」。这种按照比例算的方式随处可见，但是这种「线性推理」是有问题的，非常容易产生谬误。为什么呢？设想一下，如果你下课后把同桌打趴在地，甚至你下手很重，让他进了医院，是不是等于全中国 7 亿人每天被打扒在地了呢？显然不对吧。
我们再举一个现实的例子说明为什么这种线性类比是有问题的。2004 年西班牙马德里火车站发生了恐怖袭击，200 人丧生，按照比例算是全国人口的百万分之 4。按此比例，美国发生类似案件会死 1300 人喽。如果按照城市人口比例计算，200 人对于马德里相当于 463 人之于纽约。但是，我们知道美国火车站恐袭不少，但是从来不会达到这个数字。
当然了，我不是要全盘否定「比例换算」这种方法，方法本身没错，重点是你得用对地方。比如在著名的认知心理学家和科普作家史蒂芬 · 平克的名著《人性中的善良天使》中，平克就计算了 17 世纪欧洲「三十年战争」的死亡率，在那次战争中全世界人口的 1% 死亡，按照比例换算是现代社会的 7000 万人，比两次世界大战中死亡的人口都多。他通过计算此类暴力死亡人口的比例发现，人类历史上的暴力水平是下降的。
比例计算能否可靠得看自变量和因变量之间是否是「线性关系」，你当然可以通过严格的逻辑和理论去推理出两个东西是否是线性关系。但是，只是依靠数据也有可能发掘线性关系，其中的一种具体方法叫「线性回归」。比如，我们把北卡莱纳 31 所私立高校的入学考试分数和学费体现在一张图上。每个点是一个学校，纵坐标代表学费，横坐标是入学考试平均分。于是你会发现大部分的点分布在一条直线附近。倾斜比为 28 比 1，意味着每增长一个平均分，需要多缴纳学费 28 美元。由此可见，考试辅导是多么昂贵啊！
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■来自的网友回复
写一个高中生也能轻易掌握，但可能许多人不知道的数学原理吧。
这东西非常实用，某宝通过算法诱惑你买买买就用的这原理，哄你女朋友也可以用这原理。
先从一个故事说起：
前几年有一次坐软卧，同车厢塞了两家人，都带着自家孩子——一男一女。他俩一上车就玩到了一起，很嗨皮。我当时躺在上铺看书，瞟到他们正在pad上玩一个款游戏：
一副扑克牌54张，玩家选一张牌，在心中牢牢记下。这时pad君会每次显示20余张牌给你看，问你记的那张，是不是在这些牌里面。玩家只用在心中记下答案：「是或者不是」。这样连续问6次之后，玩家再一次性输入6个答案。pad君就会猜出玩家记的那张牌是什么。
两个小孩玩了几次，发现pad君都精确无误地猜出了正确答案，于是惊呼：「这个pad成精啦！」，然后慌忙给他们爸爸妈妈展示这个「奇迹」。
接下来两家人陷入了热烈的讨论，大概因为54张牌是个不小的数量，但只问6次就猜了出来，多少有些不可思议。
但其实对数字敏感的话，这样的「魔法」施放起来，并不怎么耗蓝。
原理很简单：
$数学思维在生活中有多大用处？$
也许你依然一脸懵比，不过没关系。这实际上涉及一个更有意思的问题：信息量的大小是如何被度量的。具体到这个问题，就是在54张牌中确定一张牌，这件事值多大的「信息量」。

麦克斯韦妖首先我们可以简化这个问题：我们是否能通过6个「答案二选一」的问题，问出那张牌？
这个问题是不是就简单多了？因为我们在高中都学过一个东西——「二分法」。但你以为我这篇文章是想介绍二分法吗？不，那这篇答案恐怕也骗不到多少赞了。但我们还是不得不先叙述一下「二分法」的工作原理。
我们需要再简化一下（为了我少打点字），假设只有8张牌，分别是 0-7 这8个数：
$数学思维在生活中有多大用处？$
因为
$数学思维在生活中有多大用处？$
，所以我们应该只用问三次。假如你想的数是5，那么「二分法」工作如下：
你想的数比4小吗？——不；你想的数比6小吗？——是；你想的数比5小吗？——不：啊哈！你记下的是5！但这样叙述的「二分法」会给人一种错觉：每一次问的问题，是和上个问题的答案有关的。比如我通过第一个问题，知道这个数不小于4，所以才会问是否比6小，否则我就会问是否比2小了。但实际上，三个问题应该是相互独立的，也就是说，可以交换顺序去问。但显然，问刚刚那三个问题是不可行的。

二分查找
既然和「二」有关，我们看看0-7的二进制：
0： 0 0 01： 0 0 12： 0 1 03： 0 1 14： 1 0 05： 1 0 16： 1 1 07： 1 1 1看到这里，相信答案已经呼之欲出了。仔细观察上表：第一次当我们问，是否比4小的时候，其实等价在问：这个数字的第一位是不是0？因为看上表，比4小的数，第一位数都是0，反之则都是1。而第二个问题问是否比6小的时候，其实是在问，这个数的第二位数是不是0，因为4和5的第二位是0，6和7的第二位是1。最后问是否比5小的时候，则是在问第三位是0还是1。
所以不如问得更直白一点：
把这个数写成二进制，第一位是0还是1？——1；第二位是0还是1？——0；第三位是0还是1？——1；啊哈，你记下的数，二进制是101，转化成十进制就是5！这三个都是「二选一」的问题，显然也是相互独立的，可以改变顺序去问。如果你一定要学pad君故弄玄虚，你当然也可以每次展示4张牌，展示三次。第一次展示「第一位上是1」的（4567），第二次展示「第二位上是1」的（2367），第三次展示「第三位上是1」的（1357），效果是一样的。
那么第二个问题来了，为什么是「二分」，不是「三分」？或者说，是不是只要问「二选一」的问题都可以呢？
当然我们很容易知道：不是。
极端一点，假如我们如果逐个问：是1吗？是2吗？……这样下去，运气好你可以第一次就问到答案，但如果你运气不好，那可能就要问54次。公交电视有个游戏节目「猜价格」，游戏规则就是，规定时间内，游戏参与者不断猜指定物品的价格，而主持人快速告之「高了」「低了」。绝大部分游戏参与者会在范围相对缩小之后，随便猜数字：199？188？189？195？其实这样碰运气不如一直取中数的效率：200？高了。100？低了。150？低了。175？低了。……
「三分法」也是一样，直觉上似乎效率有点低。所以换句话说，每次「二分」询问，得到的答案包含的「信息量」是最大的。可是如何用数学解释这一点呢？
【数学思维在生活中有多大用处？】 我们日常经常会碰到「信息量」这个词，比如经常评论说：「这篇答案，干货多，信息量大，好答案！」或者「那篇完全没有信息量嘛，怎么赞那么多！」所以信息量和什么有关呢？肯定不是长度。有的文章洋洋万字，结果满篇废话。那么是重要性吗？好像是，又好像不是，「重要性」说起来也太抽象了。
那么问题来了，我们如何用数字，精确描述「信息量」的大小？
我们定义：一个事情，如果有50% 概率发生A事件，有50% 概率发生B事件，那么搞清楚这件事情所需的信息量为「1 比特」。