数学思维在生活中有多大用处？( 二 ) 和哥们儿去吃披萨

这个想法非常妙，他把「信息量」和「可能性」两个概念联系了起来。我们很容易理解：一个事情的可能性越多，那么我们搞清楚这件事，所需的信息量就应该越大。更进一步，我们搞清楚这件事所需的「信息量」，应该恰好等于这个事情「可能性」的大小。
我们把「可能性」换上一个更官方的名字——「不确定性」。那么如何衡量一件事情的「不确定性」的大小呢？我们先说一个简单情况：
一个事情如果只有A和B两种可能，其中A发生的概率
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,B发生的概率
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（当然，
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），那么这件事情「不确定性」的大小，定义为：
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为了方便大家理解，我画了个函数图像，大家瞅瞅：

可以看到，最大值
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取在
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时。也就是说，当两种可能性完全相等——也就是你最无所适从的时候，事情的不确定性最高。同样，如果有人此时告诉你答案，他带给你的信息量也是最大的。结合前面所说的，此时的信息量恰好为「1比特」。
而观察图像可知：其他情况下的信息量，都比「1比特」小。比如一个事情，发生A事件的概率高达99%，而发生B事件概率只有1%，那么这个事情的「不确定性」其实很小了，因为你几乎可以确定就是A。此时「不确定性」的大小，代入公式可算得，只有
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。那么如果此时有人告诉你准确答案，其实只给你带来了0.08的信息量，是很小的。这个和直观上非常符合。
我们引入热力学的名词，把这种「不确定性」叫做「信息熵」。并且将这个公式推广一下，：如果一件事有n种可能，第1件事的概率是
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，第2件事的概率是
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，…，第n件事的概率是
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，那么此时的「信息熵」定义为：
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而确定一件事情所需的「信息量」，就等于这件事情的「信息熵」。
我们回到扑克牌，这幅扑克牌的信息熵是多大呢？我们可以假设每张牌出现的可能性相等，都是
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。也就是：此时有54件可能出现的事，他们的概率都是
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。代入公式计算，此时：
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而我们每次的「二分」询问，比如第一次问：「是在1-27中，还是在28-54中？」的时候，实际上确定一个等概率事件的答案，也就是「不确定性」为1比特事件的答案。所以当对方回答你的时候，也就是给了你「1比特」的信息量。这个时候，此事件的「不确定性」就减少了1，只有4.75了。所以当你6次询问后，你得到的「信息量（6）」，刚好大于这个事件的「不确定性（5.75）」，也就是说，此时「不确定性」已经没有了，变成了一个「确定」的事件——这张牌就相应确定了。
然而，
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，那多出来的
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说明了什么呢？（可留作习题）
举一个生活上的例子：比如我和朋友聊历史，说到「秦国」，我补充了一句：「就是战国时候那个秦国」。那么我补充的这句话，信息量有多大？
我们分析一下：对方听我说到「秦国」的时候，可能并不知道我说的是哪个「秦国」。于是他假设我40%概率说的战国的秦国，30%概率说的苻坚的前秦，20%概率说的姚苌的后秦，10%概率说的是鲜卑的西秦，那么当我补充告诉他「是战国那个秦国」时，实际上确定了这个不确定事件，所引入的信息量，代入公式，可算得为1.85比特。但如果对方比较了解我，他认为我99%的概率指的是战国的秦国，1%的概率指的《大秦帝国》里的秦国，那么我补充的这句话，信息量只有0.08比特，说不说其实都一样。

（图来自史图馆）
「量化信息」是一个非常精彩的想法。
我们在现实中，经常碰到的困难是：无法评判遇到的问题的难度，从而无法估计所需工作量。也就是说，不知道一个问题到底有多少「不确定性」，所以也不知道为了解决这个问题，到底需要寻找多少「信息量」。而当我们一旦将「信息」量化，很多问题就变得容易分析了。
小到一些生活中的事，比如前文扑克牌的问题，所需信息量是5.75比特，于是你引入6比特就一定能解决这个问题。
大到商业上的事情，比如某宝有100w件商品，马爸爸要精准地给你推一款货，所需的信息量有多少呢？算一算：不过20比特。所需做的，无非是根据你平时的浏览记录、行为偏好等等，找到那20比特的信息。从此就能为你在「买买买」的路上长驱直入，保驾护航。另外，我们都知道「信息差」可以带来利润，所以这也是各大金融公司茠羊毛的必修课程。
不过注意到一点，「信息量」的大小，和信息本身的重要性是无关的。比如联军是否在诺曼底登陆，这个信息量不到1比特，但它很重要。而我今天吃的是金枪鱼的大腹霜降，还是蛇腹、抑或中腹、中落、赤身，脑天、鱼颊、鳍肉……信息量竟高达3比特！但它一点都不重要。
所以我一直建议各位男同胞，如果女朋友告诉你她生气了，你又不知道为什么。应该先估算一下她这个系统的不确定性，比如你是不是夸了她闺蜜好看。然后再逐步且高效地引入信息量，去消除不确定性。不要说些有的没的，什么「不要生气了」、「宝宝我错了」，引入的信息量为0，丝毫无助于问题的解决。比如可以试试说：「你就是没她好看啊！」如果她此时更生气，说明你猜对了。而此时她所有的怒气，一定都是因为这句话。于是你完完全全地搞清楚了她的想法，这个系统的不确定性瞬间降到了0。这就是数学思维在生活中的应用。

香农
最后介绍一下历史：
「信息熵」的概念，是一位天才科学家香农在1948年提出的，从此把虚无缥缈的「信息量」，进行了量化的描述。而他的另一大贡献，则在他的硕士论文里，设计了今天计算机里二进制运算的逻辑电路，当时他只有21岁。
留一道经典习题：
有1000瓶药，已知1瓶有毒，999瓶无毒。毒发期为一天，而你现在也只剩一天。你当然可以找可怜的小白鼠试毒，那么请问，你最少需要多少只小白鼠？并且如何设计实验？
■来自的网友回复
先讲一个故事...
古希腊有一个哲学家叫苏格拉底，一天他带着他的弟子来到一片麦田，要求他的弟子从这片麦田捡一颗自己认为最饱满的麦穗，且走过的路不能返回。他的一个学生总是盼望着下一颗没准就是最饱满的，所以就错过许多较饱满的麦穗...我们都希望捡到那个最大的麦穗，期许下一个麦穗就是最大的那个，可不知刚才的那颗就是最饱满的了。
这个故事放在现在是什么样的呢？
规则：
接下来的每一个人都愿意和你共度余生。每个约会结束后，你可以选择放弃他/她或者选择他/她，但不能有回头草可以吃。假设你被安排去一个相亲会，有10个人和你约会，且约会过后就不能再见面...那你如何选择到这10个人之中最称心的那个人呢
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最优解是x=n/e 其中n为人数，e（自然常数）约等于2.71828...
10/e≈4 这个意思就是前四个人你可以看一眼就直接走人，但是后六个人如果有一个比前四个都要好就直接拿走（小孩子才做选择，大人说我全都要
同理：100个人的话，前37个你可以选择都不要，但后63个人有一个比前面的好的话，就可以直接进行选择。
这种方法也不是一定可以挑到最好的，只是一个相比之下最佳的选择策略，但是
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根本不可能有10个人愿意和你培育感情的

■来自的网友回复
作为一个高中老师，无数次的被学生被家长甚至被同行（可悲）质问：学数学有什么用？曾经有个家长问我：以后我买菜需要用到函数么？我打麻将要用函数计算么？
我：买菜打麻将确实不用函数，但是你是打算让你的孩子的一生都在买菜和打麻将中度过么？
■来自的网友回复
记得在国外的超市看到有折扣，4元一包薯条，10元两包薯条
于是我把10元两包的标签拍了个照片；买了20包薯条，用9元两包薯条的价格卖给了宿舍的小伙伴233333
■来自的网友回复
这篇回答用数学思维帮你解决生活中的一些难题。
你知道小学学的方程有什么更深层次的意义吗？高一就学了集合，你知道集合思维竟然能用来分析餐馆的净利润率，碳排放吗？初中我们就学习了几何，但你知道运用几何思维可以帮助我们分析企业发展吗？你知道如何在上得到高赞吗？信不信我能运用概率思维从数学上证明？“木桶理论”和“长板理论” 是两个看似矛盾的理论，但是用微积分思维就可以完美的解释？......开始正文，长文预警。
我这里一直在思考，既然数学是宇宙的底层规律，也是科学的底层工具，那我们能不能借用数学的思维总结出一套认知的规律方法，反过来又能在生活中对我们认知，决策提供依据。让我们的思维不再盲目，不再非理性。
这篇回答是要总结一种底层的结构化思考方式，遇到问题，翻译成数学语言，带入方程进行求解。当然，这可能是一种过于天真，过于理想化，但我在努力，试图总结生活中的方程，让我们在认知问题，分析问题，解决问题做到有理可据。也希望大家帮我一起来完善。
在详细介绍各种数学思维之前，我想先介绍一下前面提到的”方程“，我们从小学就学过方程，大家可能都有一种感觉，学了方程以后，很多难解的应用题一下子就简单许多。比如我随便找了几道小学题，如果没有学方程，你会发现解起来会非常复杂。
1. 客、货两车分别从A、B两地同时相对开出，已知客、货两车速度的比是4:5。两车在途中相遇后，继续行驶。货车把速度提高20％，客车速度不变，再行4小时后，货车到达A地，而客车离B地还有112千米。A、B两地相距多少千米？2。同学们参加野营活动。一个同学到负责后勤的教师那是去领碗。教师问他领多少，他说领55个，教师又问：“多少人吃饭？”这个学生说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三个人一个汤碗。”请你帮忙算一算参加野营活动的共有多少学生？那”方程“引入的意义大家想过没有？是让计算更简便吗？我觉得不是。”方程“引入的意义是让我们的思考模板化，很多复杂的问题，运用方程的思维，将现实问题直接翻译成数学语言以后，那么只需按照数学语言列方程组，求解就可以了。至此，我们的数学水平上了一大个台阶，因为很多之前复杂、无从下手的问题顿时豁然开朗起来。
而在学习”方程“之前，所谓复杂一点的数学问题其实就是逻辑非常的绕，而且没有套路，学会了一道题，无法举一反三。要解决这些复杂问题，我们可能需要很强的逻辑分析能力，尤其是奥数题，可能还需要特别巧妙的解法，一旦看了答案，我们就会感叹解法之精妙，思路之巧妙。而这些精妙的解法大多会存在一个共通的问题，解题思路没法复制。